Greatest Common Divisor — 최대공약수와 유클리드 호제법

Division Theorem이 나눗셈의 기초라면, GCD는 그 위에 세워진 정수론의 첫 번째 건물이다. 두 정수가 공유하는 가장 큰 약수는 단순한 수치를 넘어, 베주 항등식을 통해 암호학의 핵심 알고리즘을 뒷받침한다.

GCD 정의

임의의 정수 $a$, $b$에 대해, 최대공약수 $d = \gcd(a, b)$는 다음 두 조건을 동시에 만족하는 유일한 정수 $d \geq 0$이다.

1. $d \mid a$ 이고 $d \mid b$
2. 모든 정수 $c$에 대해 $c \mid a$ 이고 $c \mid b$ 이면, $c \mid d$

두 번째 조건이 핵심이다. 일상적인 정의(“공약수 중 가장 큰 수”)에서는 $c \leq d$를 요구하지만, $c \mid d$는 이보다 엄밀한(tight한) 조건이다 — $c$가 $d$의 약수이면 자동으로 $c \leq d$이기 때문이다.

$a$와 $b$가 서로소(coprime) 이면 $\gcd(a, b) = 1$이다.

GCD 계산

GCD를 구하는 방법은 크게 두 가지다.

소인수분해(Factorization): 두 수를 각각 소인수분해한 뒤 공통 소인수의 최솟값을 곱한다. 직관적이지만, 큰 수에서는 소인수분해 자체가 NP와 co-NP의 교집합에 속하는 난문제로 매우 느리다.

유클리드 호제법(Euclid Algorithm): 나머지 연산을 반복해 빠르게 GCD를 구한다.

유클리드 호제법

양의 정수 $a$, $b$에 대해, 나머지가 0이 될 때까지 다음 과정을 반복한다.

$$b = q_1 a + r_1$$ $$a = q_2 r_1 + r_2$$ $$r_1 = q_3 r_2 + r_3$$ $$\vdots$$ $$r_{k-2} = q_k r_{k-1} + r_k$$ $$r_{k-1} = q_{k+1} r_k + 0$$

이때 $\gcd(a, b) = r_k$이다. 핵심 관계식은 다음과 같다.

$$b = qa + r \implies \gcd(b, a) = \gcd(a, r)$$

증명 — 공약수 집합의 상호 포함으로 증명한다.

$\gcd(b, a)$의 원소들의 집합을 $D_1$, $\gcd(a, r)$의 원소들의 집합을 $D_2$라 하자.

$D_1 \subseteq D_2$: $p \in D_1$이면 $p \mid b$, $p \mid a$. $r = b - qa$이므로 $p \mid (b - qa)$, 즉 $p \mid r$. 따라서 $p \mid a$, $p \mid r$이므로 $p \in D_2$.

$D_2 \subseteq D_1$: $p \in D_2$이면 $p \mid a$, $p \mid r$. $b = qa + r$이므로 $p \mid b$. 따라서 $p \mid a$, $p \mid b$이므로 $p \in D_1$.

두 방향 포함이 성립하므로 $D_1 = D_2$, 즉 $\gcd(b, a) = \gcd(a, r)$이다.

확장 유클리드 알고리즘

유클리드 호제법의 각 단계를 역으로 거슬러 올라가면, GCD를 $a$와 $b$의 일차 결합(linear combination) 으로 표현할 수 있다.

$$r_k = r_{k-2} - q_k r_{k-1}$$

$r_{k-1}$을 다시 $r_{k-3}$과 $r_{k-2}$로 표현하고 이 과정을 반복하면,

$$r_k = (1 + q_k q_{k-1}) r_{k-2} - q_k r_{k-3}$$

최종적으로 $r_k$를 $a$와 $b$의 일차 결합으로 나타낼 수 있다.

$$\gcd(a, b) = xa + yb \quad (x, y \in \mathbb{Z})$$

이것이 베주 항등식(Bézout’s Identity) 이다. $x$와 $y$는 $a$, $b$에 의존하며 유일하지 않다.

서로소의 성질

성질 1: 서로소 판별 기준

$$\gcd(a, b) = 1 \iff \text{어떤 정수 } x, y \text{에 대해 } ax + by = 1$$

증명 (⟹): $\gcd(a, b) = 1$이면 베주 항등식에 의해 $ax + by = 1$인 $x, y$가 존재한다.

증명 (⟸): $ax + by = 1$을 만족하는 $x, y$가 존재한다고 하자. $d = \gcd(a, b)$라 하면 $d \mid a$, $d \mid b$이므로 $d \mid (ax + by) = 1$. 따라서 $d \leq 1$이고, $d \geq 0$이므로 $d = 1$.

성질 2: 서로소와 배수

$$a \mid bc \text{ 이고 } \gcd(a, b) = 1 \implies a \mid c$$

증명: $\gcd(a, b) = 1$이므로 $ax + by = 1$인 $x, y$가 존재한다. 양변에 $c$를 곱하면 $acx + bcy = c$. $bc = ka$ (가정에서 $a \mid bc$)를 대입하면 $acx + kay = c$, 즉 $a(cx + ky) = c$. 따라서 $a \mid c$.

성질 3: 서로소의 곱셈 보존

$$\gcd(a, b) = 1 \text{ 이고 } \gcd(a, c) = 1 \implies \gcd(a, bc) = 1$$

증명: $\gcd(a, b) = 1$이면 $ax_1 + by_1 = 1$, $\gcd(a, c) = 1$이면 $ax_2 + cy_2 = 1$인 정수들이 존재한다. 두 식을 곱하면,

$$(ax_1 + by_1)(ax_2 + cy_2) = a(ax_1 x_2 + cx_1 y_2 + bx_2 y_1) + bc \cdot y_1 y_2 = 1$$

이를 $a$와 $bc$의 일차 결합으로 표현했으므로, 성질 1에 의해 $\gcd(a, bc) = 1$.

GCD 정의 동치 증명

일상적 정의(“공약수 중 가장 큰 수”)와 위의 대수적 정의가 동치임을 증명한다.

$A$, $B$, $D$를 각각 $a$, $b$, $d$의 약수 집합이라 하자. $d$가 최대공약수이려면 $D = A \cap B$, 즉 $d$의 약수 집합이 $a$와 $b$의 공약수 집합과 일치해야 한다.

$A \cap B \subseteq D$: $t \in A \cap B$이면 $t \mid a$, $t \mid b$. 베주 항등식 $d = xa + yb$에서 $t \mid (xa + yb) = d$. 따라서 $t \in D$.

$D \subseteq A \cap B$: $t \in D$이면 $t \mid d$, 즉 $d = tk$. $a = a'd$, $b = b'd$로 쓰면 $a = a'tk$, $b = b'tk$. 따라서 $t \mid a$, $t \mid b$이므로 $t \in A \cap B$.

두 방향 포함이 성립하므로 $D = A \cap B$. 두 정의가 동치임이 증명되었다.

GCD 확장

GCD는 3개 이상의 정수로 자연스럽게 확장된다.

$d = \gcd(a, b, c)$는 다음을 만족하는 유일한 정수 $d \geq 0$이다.

1. $d \mid a$, $d \mid b$, $d \mid c$
2. 모든 정수 $e$에 대해 $e \mid a$, $e \mid b$, $e \mid c$이면 $e \mid d$

계산은 연속 적용으로 처리한다. $\gcd(a, b, c) = \gcd(\gcd(a, b), c)$.